CHUYÊN ĐỀ: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
PHẦN 1: LÝ THUYẾT
I. Định nghĩa : Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện (Đ) gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện (Đ).
Từ định nghĩa suy ra : Tâm mặt cầu là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình đa diện.
II. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và hình lăng trụ
1.Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
a.Trục của đường tròn ( O; R ) : Đường thẳng d gọi là trục của đường tròn
(O; R) khi và chỉ khi d qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn đó.
b. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp : Hình chóp S.A1A2…An nội tiếp mặt cầu (S) khi và chỉ khi đáy của nó là một đa giác nội tiếp một đường tròn.
Chứng minh:
Giả sử hình chóp S.A1A2…An nội tiếp trong mặt cầu (S). Khi đó, các đỉnh A1, A2, …, An của hình chóp nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp và đồng thời nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt phẳng đáy và mặt mặt cầu. Do vậy, đa giác đáy nội tiếp trong đường tròn đó.
Ngược lại, S.A1A2…An có đáy A1, A2, …, An nội tiếp trong đường tròn (C)
thì ta gọi là trục của đường tròn đó và gọi O là giao điểm của với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên, chẳng hạn SA1. Khi đó, OS = OA1 = OA2= … = OAn . Vậy hình chóp có hình cầu ngoại tiếp, đó là mặt cầu tâm O, bán kính R.
c. Nhận xét
Phần thứ hai của việc chứng minh bài toán trên cũng chính là một trong những cách xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp ( trong trường hợp ta đã biết hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp ).
Việc xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp sẽ dễ hơn nếu ta biết trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy đồng phẳng với một cạnh bên bất kỳ. Khi đó, mặt phẳng trung trực của một cạnh bên sẽ được thay thế bằng đường trung trực của cạnh bên đồng phẳng với ∆ .
Ta cũng có thể xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo định nghĩa, tức là xác định điểm O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp, thông thường là các đỉnh của hình chóp nhìn một đoạn thẳng dưới một góc 900, hoặc là phải dựa vào các yếu tố cân, đều của hình chóp …
2. Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
a. Chứng minh rằng một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng và đáy là một đa giác nội tiếp một đường tròn.
Chứng minh :
Nếu (H) là một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì các mặt bên là những hình bình hành có đường tròn ngoại tiếp nên phải là hình chữ nhật. Vậy (H) phải là hình lăng trụ đứng. ngoài ra, vì (H) có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải là một đa giác có đường tròn ngoại tiếp.
Ngược lại, cho (H) là hình lăng trụ đứng có các đường tròn (C), (C’) ngoại tiếp hai đa giác đáy. Gọi I, I’ lần lượt là tâm hai đường tròn đó thì
II’ là trục của hai đường tròn. Vì vậy, gọi O là trung điểm của đoạn II’, suy ra O cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ đã cho. Vậy hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp.
b. Nhận xét
– Việc chứng minh ý hai của bài toán trên cũng chính là một trong những cách xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.
– Cũng tương tự hình chóp ta còn tìm một điểm O cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ.
Tải tài liệu này tại đây. Đặt mua Sách tham khảo toán 12 tại đây! Tải bản WORD tại đây.