Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số- Phần 1

Tải tài liệu này tại đây. Đặt mua Sách tham khảo toán 8 tại đây! Tải bản WORD tại đây.

Trích dẫn có trong tài liệu:

I.  Một số hằng đẳng thức cơ bản

  1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ;

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;

 = ;

  • (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3  = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b);

     (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ;

  • a2 – b2 = (a – b)(a + b) ;

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ;

an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ;

  • a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ;

a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ;

II.  Các ví dụ

 Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau :

A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3.

Lời giải

    A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3

       = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] –

          – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3]

       = 6(x + y)2z  – 6z(x – y)2 = 24xyz     

 Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). Tính giá trị của các biểu thức sau :

   a) x2 + y2 ;                  b) x3 + y3 ;                      c) x4 + y4 ;                     d) x5 + y5

Lời giải

  1. x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b
  2. x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab
  3. x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2
  4. (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y)

Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 Þ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2

    Chú ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2

                   a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b)

                             = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3)

 Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức :

  1. a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ;
  2. (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

Lời giải

  1. a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2

         = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)

         = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]

         = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)                           

  • (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3)

= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2)

= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]

= 3(a + b)(b + c)(c + a)

 Ví dụ 4. Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :

A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)

Lời giải

    Đặt S = a + b và P = ab, thì a2 + b2 = ; a3 + b3 = . Vì vậy :

    A = x3 – 3()x + 2() =

        = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab]

        = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2

  Ví dụ 5. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

Lời giải

     Vì  x + y + z = 0 nên x + y = –z Þ (x + y)3 = –z3

     Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 Þ 3xyz = x3 + y3 + z3

     Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)

                                             = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)

     Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z). Tương tự :

              y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx.

     Vì vậy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy)

                                                         = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2)     

     Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm)

Bài viết liên quan