Dãy số theo quy luật

September 17, 2016

CHUYÊN ĐỀ 1. DÃY SỐ

DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG LUỸ THỪA CÙNG CƠ SỐ THEO QUY LUẬT

Ví dụ 1: Tính tổng của dãy số: A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 210

Giải: 2A = 2 + 22 + 23 + 24 + … + 210 + 211 . Khi đó 2A – A = A = 211 – 1

*Công thức tổng quát: A = 1 + a + a2 + a3 + a4 + … + an

Nhân cả hai vế của A với a ta có a.A = a + a2 + a3 + a4 + … + an + an+1

aA – A = ( a – 1)A = an+1 – 1. Vậy A = (an + 1 – 1): (a – 1) ; (a ≥ 2)

Từ đó ta có công thức : an+1 – 1 = ( a – 1)( 1 + a + a2 + a3 + … + an) .

* Bài tập vận dụng: 1. Tính tổng.

c) Chứng minh rằng : 1414 – 1 Chia hết cho 13

d) Chứng minh rằng: 20152015 – 1 Chia hết cho 2014

2. Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + … + 499 ; B = 4100 Chứng minh rằng: A <

3. Tính M =

HD 2: 4A = 4 + 42 + 43 + 44 +…+ 4100

3A = 4A – A = 4100 – 1 A = < = Vậy A <

Ví dụ 2: Tính tổng của dãy số: A= 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + … + 3100

Giải:Ta có: 32A = 32 + 34 + 36 + 38 + … + 3100 + 3102

A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + … + 3100

32A – A = 3102 – 1 . Hay A( 32 – 1) = 3102 – 1

* Công thức tổng quát: A= 1 + a2 + a4 + a6 + a8 + … + a2n

Ta có: a2A = a2 + a4 + a6 + a8 + … + a2n + a2n + 2

A = 1 + a2 + a4 + a6 + a8 + … + a2n

a2A – A = a2n+2 – 1 . Hay A( a2 – 1) = a2n +2 – 1

Hay A = (a2n +2 – 1):( a2 – 1)

*Bài tập áp dụng: Tính tổng. B = 1 + 22 + 24 + 26 + 28 + 210 + … + 2200

*Bài tập.

1. tính tổng. C = 5 + 53 + 55 + 57 + 59 + … + 5101

D = 13 + 133 + 135 + 137 + 139 + … + 1399

2. Cho A = 31 +32+33 + …..+ 32006 . a, Thu gọn A ; b, Tìm x để 2A+3 = 3x

3. Cho B = 3 + 32 + 33 + … + 3100 .Tìm số tự nhiên n, biết rằng 2B + 3 = 3n

HD2.a)A =31 +32+33+…..+32006 3A=32+33 +34+ …..+ 320073A – A= 32007 -3 A =

b) Ta có : 2. +3 = 3x => 32007 -3 +3 = 3x => 32007 = 3x => x = 2007

3. B = 3 + 32 + 33 + … + 399 + 3100 (1)

3B = 32 + 33 + … + 3100 + 3101 (2)

Lấy (2) trừ (1) ta được: 2B = 3101 – 3. Do đó: 2B + 3 = 3101

Theo đề bài 3B + 3 = 3n . Vậy n = 101

DẠNG 2. DÃY SỐ PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT

Sử dụng công thức tổng quát ( Vì)

Ví dụ 1. Tính tổng S =

Giải: Ta có : , ,

Do đó : S =

Ví dụ 2. Tính tổng: B =

Giải: Ta có;

B= B=

Ví dụ 3. Tính tổng: M =

Giải: M = =

= =

Ví dụ 4. Tính tổng B =

Giải: B = =

= = =

*Bài tập áp dụng: 1. Tính tổng:

2. Tính q = ; 3. Tính A=.

4. Cho dãy phân số được viết theo qui luật:

a, Tìm phân số thứ 45 của dãy số này. b, Tính tổng của 45 phân số này.

*Bài toán thêm:

5. Tính a) b)

c) d)

6 Tính: a) b)

c)

7: Chứng minh rằng với mọi ta có:

8*.

HD 1. Tính tổng:

=

2. q = = = =

3. 3A= = == .

Suy ra A=

4.

Vì 30 < 32 nên S < 1

DẠNG 3. DÃY SỐ PHÂN SỐ LUỸ THỪA THEO QUY LUẬT

Ví dụ Thực hiện phép tính: A = + + + … +

Giải: 3A = 1 + + + … + (1)

A = + + … + + (2)

Lấy (1) trừ (2) được: 2A = 1 – = 1 – = do đó A =

*Bài tập áp dụng:1: Tính tổng sau: + + + … +

2. Chứng minh rằng: A =

3. Chøng minh r»ng:

HD 1. A = + + + … + = 1 – =

2.Ta có: 3A = Nên 3A – A = 1 –

Hay 2A = 1 – ⇒ A = . Vậy A <

3. §Æt A=

2A= 2A+A =3A = 1- 3A < 1 A <

BÀI TOÁN HỌC XONG TIẾT 51 “QUY TẮC DẤU NGOẶC”

1. Cho dãy số: 7; -12; 17; -22; 27; …

  1. Tìm số thứ 2014 của dãy trên?
  2. Tính tổng 2014 số hạng đầu tiên của dãy trên?
  3. Viết số hạng thứ n của dãy trên ( với n là số thứ tự).
  4. Các số -5007; 38946 có mặt trong dãy trên không?

2. Tính giá trị của biểu thức :

a/ A = 1 + (-2) +3 + (-2) + …+ 2003 + (-2004) + 2005

b/ B = 1 – 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +…(B có 2005 số hạng)

3. Tính 1 – 2 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7 +….. – 2014 – 2015

4. Cho Biết A = 2013. Hỏi A có bao nhiêu số hạng? Giá trị của số hạng cuối cùng là bao nhiêu?

5. Cho A = 5 – 52 + 53 – 54 + …- 598 + 599 . Tính tổng A.

6. Tính: A = 2100– 299– 298– 297 – … – 22 – 2 – 1

7. TÝnh c¸c tæng sau : a ) A = 9 + 99 + 999 + 9999 + …+

b ) B=1+11+111+1111+…+ ; c ) C=4+44+444+4444+… +

8. TÝnh c¸c tæng sau : A = 2 + 22 + 222 + 2222 + … +

9. B = 3 + 33 + 333 + 3333 + … + ; C = 5 + 55 + 555 + 5555 + … +

10. CMR: a) ; b)

11. Tìm x biết

12. Không quy đồng hãy tính tổng sau:

A =

13. Chứng minh rằng: A = + … + + … + < 0,1

14. Chứng minh rằng: A =

HD 1. a) Dãy số: 7; -12; 17; -22; 27; …

Gọi số hạng thứ 2014 của dãy trên có giá trị tuyện đối là x ( x )

Ta có:( x-7):5+1=2014 suy ra x=10072

Mà mỗi số hạng của dãy trên đứng ở thứ tự lẻ mang dấu “+”, số đứng ở thứ tự chẵn mang dấu “-” . Vậy số hạng thứ 2014 của dãy trên là -10072

b) Tổng 2014 số hạng đầu tiên của dãy trên là

7+(-12)+17+(-22)+27+…+(-10072)=[7+(-12)]+[17+(-22)]+…+[10067+(-10072)] (có 2014:2=1007 nhóm)=-5.1007=-5035

c) Ta thấy: Mỗi số của dãy trên chia 5 đều dư 2, số hạng đứng ở thứ tự lẻ mang dấu “+”, số đứng ở thứ tự chẵn mang dấu “-”

Công thức tổng quát của số hạng thứ n là: (-1)(5n+2)

d) Ta thấy -5007: 5( dư 2), 38946:5( dư 1)

Vậy -5007 có mặt trong dãy trên còn 38946 không cố mặt ở dãy trên.

2. a/ A = 1 + (-2+3) + (-3+4) +…+ (-2002+2003) + (-2004 + 2005)

= 1+ 1 + 1 +….+ 1+ + 1 ( có 1002 số hạng) = 1003

b/ B = 1 – 7 +13 – 19 + 25 – 31 +…. (B có 2005 số hạng) = 1 +C

C = (-7+13) + (-19+25) + (-31+37) +…. (C có 1002 cặp)

= 6 + 6+ 6 + …. = 6012 Vậy B = 6013

3. Giải. Vì (1 – 2 – 3 + 4) = (5 – 6 – 7 + 8) =…. (2000 – 2004 – 2005 + 2006) = 0

⇒ 1 – 2 – 3 + 4 + . . . – 2014 – 2015= 0 + 0 + . . . . . . +0 + (- 2016) = –2016

4. Số số hạng của A là (số hạng)

Số hạng cuối cùng là: (1007 – 1).4 + 1 = 4025

5. A = 5 – 52 + 53 – 54 + …- 598 + 599 5A = 52 – 53 + 54 – …+ 598 – 599 + 5100

Tính và rút gọn được 6A = 5 + 5100

6. A = 2100– 299– 298– 297 – … – 22 – 2 – 1 = 2100 – ( 299 + 298 +…+ 2 + 1)

Đặt B = 299 + 298 + 297 +… + 22 + 2 + 1

Ta có: 2B =2(299 + 298 + 297 +… + 22 + 2 + 1) = 2100 +299 + …+ 22+ 2

2B – B = (2100 +299 + …+ 22+ 2) – (299 + 298 + … + 2 + 1)

B = 2100 – 1 . Vậy A= 2100 – (2100 – 1) = 1

7. Gi¶i. a) A = 9 + 99 + 999 + 9999 + …+

= 101 – 1 + 102 – 1 + 103 – 1 + … + 1010 – 1 = 101 + 102 + 103 + … + 1010 – 10

= ( 101+ 102 + 103+ 104 + … + 1010 ) – 10 = 0 – 10 = 00

  1. B = 1 + 11 + 111 + 1111 + … +

9B = 9.(1 + 11 + 111 + 1111 + … + ) = 9 + 99 + 999 + … +

9B = 00 ( Theo kÕt qu¶ cña c©u a). VËy B = 00 / 9

c) C = 4 + 44 + 444 + 4444 + … + = 4(1 + 11 + 111 + 1111 + … + )

9C = 9.4.( 1 + 11 + 111 + 1111 + … + )

= 4.( 9 + 99 + 999 + 9999 + …+ ) = 4.00 = 00

VËy C = 00 / 9

10. a) Đặt A=

⇒ 2A= ⇒ 2A+A =3A = 1-

⇒ 3A < 1 ⇒ A <

b) Đặt A= ⇒3A= 1-

⇒ 4A = 1- ⇒ 4A< 1- (1)

Đặt B= 1- ⇒ 3B= 2+

4B = B+3B= 3- < 3 ⇒ B < (2)

Từ (1)và (2) ⇒ 4A < B < ⇒ A <

11.

12. Tính A =

= -()= -()= -() =

13. A = + … + + … + < 0,1

9A + A = 1 – + … + + … + => 9A + A = 1 – < 1 => 10A < 1 => A < 0,1

14. A = => 2A =

=> 3A = 1 – => 3A < 1 – (1)

Đặt B = 1 – => 2B = 2 –

=> 3B = B+2B = 2 – < 2 => B < (2). Từ (1) và (2) => 3A < B < ⇒ A < => đpcm



No Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

Gửi câu hỏi của bạn