Phương pháp tiên đề trong hình học


A. Khi mới ra đời, hình học là môn khoa học thực nghiệm nãy sinh từ việc đo đạc tính toán các đại lượng về khoảng cách giữa các điểm, diện tích các đám đất, thể tích của các thùng chứa. ..Thời cổ đại, người Ba-Bi-Lon và Ai cập đã tích lũy được nhiều kiến thức hình học khá phong phú, chẳng hạn như công thức Pitago, định lý Talet, các công thức tính thể tích hình chóp, hình chóp cụt, hình nón,…

A. Khi mới ra đời, hình học là môn khoa học thực nghiệm nãy sinh từ việc đo đạc tính toán các đại lượng về khoảng cách giữa các điểm, diện tích các đám đất, thể tích của các thùng chứa. ..Thời cổ đại, người Ba-Bi-Lon và Ai cập đã tích lũy được nhiều kiến thức hình học khá phong phú, chẳng hạn như công thức Pitago, định lý Talet, các công thức tính thể tích hình chóp, hình chóp cụt, hình nón,…

Euclid

Dần dần hình học trở thành một lối khoa học suy diễn, tức là thay vì dùng công thức thực nghiệm để kiểm tra sự đúng đắn của các sự kiện hình học, người ta chứng minh bằng phương pháp lập luận. Thời điểm này có nhiều tác phẩm hình học ra đời, nhưng nổi tiếng nhất và còn giữ lại cho đến ngày nay là tập “ Cơ bản” của Euclid (nhà toán học Hy lạp cổ đại sống vào khoảng thế kỷ thứ 3 trước công nguyên)

Tập “Cơ bản” Của Euclid gồm 13 cuốn, trong đó có 8 cuốn nói về hình học. Toàn bộ nội dung môn hình học sơ cấp của bậc phổ thông ngày nay là một phần trong những tác phẩm đó. Công lao to lớn của Euclid là đã tập hợp những kết quả của những tác giả trước, sắp xếp và chứng minh lại một cách chặt chẽ. Để xây dựng một môn hình học, Euclid đã xuất phát từ 10 tiên đề và định đề được thừa nhận là đúng mà không cần chứng minh. Từ đó dựa vào những suy luận lôgic, ông lại xây dựng nên những định lý khác.

Như vậy, có thể nói Euclid là người đặt nền móng cho phương pháp xây dựng hình học mà ngày nay người ta gọi đó là phương pháp xây dựng bằng tiên đề.
Để trình bày môn hình học theo phương pháp tiên đề người ta làm như sau:
1. Không định nghĩa một số khái niệm như: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng, độ dài đoạn thẳng ,…Các khái niệm như vậy được gọi là những khái niệm cơ bản. Các khái niệm khác sẽ được định nghĩa dựa vào những khái niệm cơ bản. Chẳng hạn như sự bằng nhau của các đoạn thẳng cà sự bằng nhau của các góc.

2. Nêu ra một số mệnh đề được thừa nhận là đúng mà không cần chứng minh. Các mệnh đề như vậy được gọi là tiên đề. Chẳng hạn như ta thừ nhận mệnh đề: “ Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước” là tiên đề. Hoặc: “ Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước”
Mọi mệnh đề khác đề phải được chứng minh dựa vào những tiên đề và các mệnh đề đã được chứng minh trước đó.
Chúng ta cầ chú ý rằng tuy điểm, đường thẳng, mặt phẳng không được định nghĩa, nhưng chúng buộc phải thoải mãn các tiên đề. Cho nên có thể chúng được định nghĩa một cách gián tiếp qua các tiên đề.
B. Trong hệ thống các tiên đề hình học có một tiên đề gọi là tiên đề Euclid(nó tương đương với với định đề V trong tác phẩm cơ bản của Euclid). Tiên đề đó được phát biều như sau: “ Cho điểm A không nằm trong đường thẳng b thì trong mặt phẳng(A,b) chỉ có một đường thẳng đi qua A mà không cắt b”

Trong lịch sử nghiên cứu khi nghiên cưu các tiên đề của Euclid, nhất là định đề V nói trên, các nhà toán học đã nghi ngờ rằng có thể chứng minh nó dựa vào các kết quả khác của tiên đề và nếu đúng như vậy thì cần loại bỏ nó ra khỏi danh sách các tiên đề. Nhiều nhà toán học nổi tiếng thời cần đại chẳng hạn: Saccheri, Lambert, Legendre,…đã tốn nhiều sức lực để chứng mình định đề V nhưng không thành công. Vào đầu thế kỷ XIX, các nhà toán học: Gauss, Bolyai, và đặc biệt là nhà toán học người Nga Lobachevsky, trong quá trình chứng minh định đề V của Euclid, đã xây dựng một hình học mới trong đó không thừa nhận định đề V của Euclid mà thừa nhận tiên đề phỉ nhận của định đề V: “ Cho điểm A không nằm trên đường thẳng b thì trong mặt phẳng (A,b) có ít nhất hai đường thẳng đi qua A mà không cắt b”

Lobachevsky-Người tiên phong khảo sát về hình học phi Euclicd

Lobachevsky-Người tiên phong khảo sát về hình học phi Euclicd

Ngày nay người ta gọi hình học đó là hình học Lobachevsky(một loại hình học Phi Euclid)
Năm mươi năm sau khi Lobachevsky công bố tác phẩm của mình, người ta chứng minh được rằng hình học Lobachevsky không hề có mâu thuẩn và như vậy, tiên đề Euclid đúng là một tiên đề.
Ngày nay, phương pháp tiên đề đã thâm nhập vào nhiều ngành toán học khác nhau và nó là một công cụ quan trọng trong việc xây dựng nên những bộ môn toán học hiện đại.