Chương 3. ĐNH LƯ THALES TRONG TAM GIÁC

- TAM GIÁC ĐNG DNG

Ch đ 1: ĐNH LƯ THALES TRONG TAM GIÁC

ĐNH LƯ ĐO, H QU CA ĐNH LƯ THALES

A. Tóm tt lí thuyết

1. Đon thng t l

a)     T s ca hai đon thng

T s ca hai đon thng AB và CD, kư hiu , là t s đ dài ca chúng theo cùng mt đơn v đo.

Chú ư: T s ca hai đon thng không ph thuc vào các chn đơn v đo.

b)     Đon thng t l

Hai đon thng AB và CD gi là t l vi hai đon thng A'B' và C'D' nếu có t l thc:                             hay      

c)     Mt s tính cht ca t l thc

d)    Đim chia mt đon thng theo mt t s cho trước

* Cho đon thng AB. Mt đim C thuc AB (hoc thuc đường thng AB) được gi là chia đon thng AB theo t s , nếu có

* Nếu C chia AB theo t s  th́ C chia BA theo t s

* Nếu C chia AB theo t s  

2. Đnh lư thales (Talet) trong tam giác

a)     Đnh lư Talet thun

Nếu mt đường thng song song vi mt cnh ca tam giác và ct hai cnh c̣n li th́ nó đnh ra trên hai cnh đó nhng đon thng tương ng t l.

Ví d 1. Cho h́nh v 

Ta có 

b)     Đnh lư Talet đo

Nếu mt đường thng ct hai cnh ca mt tam giác và đnh ra trên hai cnh đó nhng đon thng tương ng t l th́ đường thng đó song song vi cnh c̣n li ca tam giác.

Ví d 2.  

            

c)     H qu ca đnh lư Talet

Nếu mt đường thng ct hai cnh ca mt tam giác và song song vi cnh c̣n li th́ nó to thành mt tam giác mi có ba cnh tương ng t l vi ba cnh ca tam giác đă cho.

Ví d 3.

 

Chú ư: H qu trên vn đúng cho trường hp đường thng song song vi mt cnh và ct phn kéo dài ca hai cnh c̣n li.

Ví d 4. Cho tam giác ABC vuông ti A, MN//BC (, AB=9cm; AM = 3cm; AN = 4cm. Tính đ dài các đon thng NC, MN, BC

Hướng dẫn giải

MB = AB – AM = 6cm. V́ MN//BC

nên theo h qu đnh lí Talet ta có

 . Suy ra NC = 8cm

Xét tam giác vuông AMN có góc A bng 1 vuông, ta có

V́ MN//BC nên theo h qu đnh lí Talet ta có

.

Suy ra BC = 15cm

 

B. BÀI TP CÓ HƯỚNG DN GII

 

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu  1. Cho tam giác ABC, M là một điểm bất ḱ trên BC. Các đường song song với AM vẽ từ B và C cắt AC, AB tại N và P. Chứng minh  .

 

Hướng dẫn giải

 Áp dng h qu ca đnh lí Talet cho tam giác BNC và tam giác CPB, ta có

   (1) và   (2)

Ly (1) + (2) ta được 

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 2. Cho h́nh thang ABCD (AB// CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm BM và AC.
a)	Chứng minh IK//AB
b)	Đường thẳng IK cắt AD, BC theo lần lượt E, F. 
Chứng minh EI = IK = KF

 

Hướng dẫn giải

 a) Theo gii thiết AB//CD nên theo đnh lư Talet ta có

                            

Mà CM = DM nên  

                   (theo đnh lí Talet đo)

b) Theo chng minh câu a ta có IE//CD.

 

Mà DM = MC

Tương t IK = KF. Vy IE = IK = KF

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 3. Cho tam giác ABC và trung tuyến AD. Một đường thẳng bất kỳ song song với AD cắt cạnh BC, đường thẳng CA, AB lần lượt tại E, N, M.
Chứng minh  
 

Hướng dẫn giải

 Trong tam giác ADC có EN//AD

Nên

Trong tam giác BME có AD//ME

Nên

Mà BD = DC (AM là trung tuyến)

Do đó

( v́ BD = CD)

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 4. Cho h́nh b́nh hành ABCD. Một đường thẳng bất kỳ qua A cắt đoạn BD, đường thẳng CD và BC lần lượt tai E, F và G. Chứng minh rằng
a)  			
b)  
c) Khi đường thẳng qua A thay đổi th́ tích BK.DG có giá trị không đổi

 Hướng dẫn giải

a) Ta có DF//AB. Theo h qu ca đnh lí Talet ta có      (1)

Li có AD//BG nên     (2)

T (1) và (2) ta có

b) Đng thc phi chng minh tương đương vi  

T     

Do đó

Vy

c) Đt AB = a, AD = b th́

Do AB//CF nên            (1)      AD//BG nên           (2)

Nhân (1) và (2) vế theo vế ta được  không đi

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu  5. Cho tam giác ABC. Với G là trọng tâm. Một đường thẳng bất ḱ qua G cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M, N
 Chứng minh  

 

Hướng dẫn giải

Gi AI là trung tuyến ca tam giác ABC, v BD//MN, CE//MM ().

Ta có BD//CE

  Xét  

           i đnh)

           BI = IC (AI là trung tuyến) (so lê trong)

Do đó =(c.g.c). Nên BD = CE, DI = IE

Trong tam giác AMG có MG//BD  nên (h qu đnh lí Talet)

Trong tam giác ANG có NG//EC nên (h qu đnh lí Talet)

Do đó

V́ DI = IE (cmt); GA=AI (G là trng tâm)

Vy

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 6. Cho h́nh thang ABCD có hai đáy BC và AD (BC khác AD). Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên cạnh AB, CD sao cho  . Đường thẳng MN cắt AC, BD tương ứng tại E và F. Vẽ MP//BD  
a)	Chứng minh rằng PN//AC
b)	Chứng minh ME = NF

 Hướng dẫn giải

a) Ta có MP//BD nên nh lí Talet)

            (1)       

Suy ra . Vậy: PN//AC ( đnh lí Talet)

b) Ta có FN//BC nên     (1)

              ME//BC nên     (2)

T (1), (2) và (3) suy ra .

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu  7. Cho tam giác ABC. Kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D và cắt AC tại E. Qua C kẻ Cx song song với AB, cắt DE ở G. Gọi H là giao điểm của AC và BG. Kẻ HI song song với AB  . Chứng minh rằng
a)	AD.EG = BD.DE				
b)	 
c.  
 

Hướng dẫn giải

a) T giác DGCB  có DG//BC; CG//DB nên t giác DGCB là h́nh b́nh hành        BD = CG  (1)

Trong tam giác AD//CG nên    (2)

T (1) và (2) suy ra

DE.BD = DA.EG (đpcm)

b) Ta có BC//EG   nh lí Talet)

Ta li có AB//CG . Suy ra (đpcm)

c) Ta có AB//IH nh lí Talet)       (3)

              IH//CG nh lí Talet)       (4)

Ly (3) +(4) vế theo vế ta được

Hay   (đpcm)

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu  8. Cho 3 tia Ox. Oy, Oz tạo thành  . Chứng minh nếu A, B, C là 3 điểm thẳng hàng trên Ox, Oy, Oz th́ ta có  

 

Hướng dẫn giải

 Qua B v BD//Ox, DOz. Và DE//Oz, E Ox

Ta có t giác ODBE là h́nh b́nh hành mà OB là tia phân giác ca góc AOC, nên ODBE là h́nh thoi.

Suy ra DB = BE

Tam giác AOC có BD//OA  nên (h qu đnh lí Talet)

Tam giác AOC có EB//OC nên  (h qu đnh lí Talet)

Do đó

Hay  v́ BD = BE (cmt)

Nên

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 9. Cho h́nh thang ABCD (AB//CD). Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Qua O ta kẻ một đường thẳng song song với CD cắt BC tại M. 
Chứng minh  

 

Hướng dẫn giải

 Trong tam giác ABC có OM//AB        (1)

Trong tam giác DCB có OM//DC       (2)

Do đó

Hay

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 10. Cho tam giác ABC, G là trong tâm. Qua G kẻ đường thẳng song song với AB nó cắt BC tại D, kẻ đường thẳng song song với AC, nó cắt BC tại E. So sánh tỉ số  

 

Hướng dẫn giải

V́ G là trong tâm tam giác ABC nên ta có

áp dng đnh lí Talet vào tam giác MAB vi DG//BA ta có

Suy ra   Hay  (1)

Áp dng đnh lí Talet vào tam giác  MAC vi GE//AC ta có

 suy ra     hay   (2)

T (1) và (2) suy ra .

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 11. H́nh thang ABCD đáy nhỏ CD. Qua D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC tại M. Qua C vẽ đường thẳng AD cắt AB tại F . Qua F lại kẻ đường thẳng song song AC cắt BC tại P.  Chứng minh rằng 
a)	MP//AB
b)	Ba đường thẳng MP, CF, BD đồng qui.

 

Hướng dẫn giải

 a) Trong tam giác ABC có FP//AC        (1)

Trong tam giác DMC có AK//DC     (2)

Các t giác AFCD; DCBK là các h́nh b́nh hành

Suy ra : ;   (3)

Kết hp (1) (2) và (3) ta có

Áp dng đnh lí đo Talet ta có MP//AB

b) Gi I là giao đim ca BD và CF . Theo câu a ta có

  do FB//DC

Rút ra  t đó PI//DC (//AB)

Theo a) ta cũng có PM//AM. Theo tiên đ Oclit v đường thng song song th́ ba điêm P, I, M thng hàng, nói cách khác, MP phi đi qua giao đim I ca BD và CF.

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 12. Cho h́nh vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I. Gọi E là giao điểm của DI và CB. Gọi J là giao điểm của AE và CI. Chứng minh BJ vuông góc DE. 

 

Hướng dẫn giải

 Trên tia đi ca tia AB ly đim F sao cho AF = BE. CF ct EA, ED ln lượt ti H, O, EA ct DF ti K.  Ta có  (c-g-c).

Nên suy ra được: ,

 (3)

T (1), (3) suy ra ,

Hay nói cách khác:  EADF.

Mt khác:

Nên suy ra .

Kết hp vi (2), ta được:  (c-g-c)

Suy ra  (4).

Mt khác  nên

Như vy ta có EDCF.

T đây suy ra I là trc tâm tam giác CEF và H là trc tâm tam giác DEF

Suy ra CIEF, DHEFDH // CI.

Theo đnh lí Talet th́: , do vy BJ // CH.

Theo trên CHED , vy BJED.

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 13:  Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Từ một điểm E trên cạnh BC ta kẻ đường thẳng Ex song song với AM và cắt tia CA, BA lần lượt tại F và G.  Chứng minh EF + EG = 2.AM.

 

Hướng dẫn giải

 T́m cách gii.

Đ chng minh  EF + EG = 2.AM , suy lun thông thường là dng đon thng  trên tia EF, EG  bng đon thng AM, ri biến đi cng tr đon thng. Chng hn trong ví d này, qua A k đường thng song song vi BC, ct EF ti I. D dàng nhn thy EI = AM, do vy ch cn chng minh GI = IF là xong. Tuy nhiên đ chng minh GI = IF bng cách ghép vào hai tam giác bng nhau là khó khăn, chính v́ vy chúng ta chng minh t s bng nhau có cùng mu s. Quan sát k nhn thy GI và IF có th đt trên mu s là IE ! T đó vn dng đnh lư và h qu Ta-let đ chng minh là xong. Ngoài cách trên, chúng ta có th biến đi kết lun thành tng t s và chng minh là xong. Do đó vn dng đnh lư Ta-lét và biến đi linh hot t l thc là yêu cu tt yếu trong dng toán này.

Tŕnh bày li gii

Cách 1. Gi s E thuc đon BM.  Qua A k đường thng song song vi BC ct EF ti I. Ta có AMEI là h́nh b́nh hành, suy ra EI = AM.

Áp dng đnh lư Ta-lét, xét  EFC có (1)

Xét

(2)

T (1) và (2), kết hp vi BM = MC, suy ra IG = IF.

Ta có EF + EG = EI + IF + EI – IG = 2.EI = 2.AM.

Cách 2. Gi s E thuc đon BM.

Theo h qu đnh lư Ta- lét:

Xét EFC có EF // AM

   (3)

Xét có EG // AM

   (4)

Cng vế theo vế (3) và (4) ta có:

hay

Suy ra EF + EG = 2.AM.

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 14:  Cho h́nh thang ABCD(AB // CD). Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = CD. Gọi giao điểm của AC với DB và DE theo thứ tự là I và K. Chứng minh hệ thức  .

 

Hướng dẫn giải

 T́m cách gii. Nhn thy rng: chúng ta không th chng minh trc tiếp , do vy nên s dng t s trung gian. Khai thác BE = CD và AB // CD rt t nhiên chúng ta vn dng h qu đnh lư Ta-lét.

Tŕnh bày li gii

Đt AB = a, BE = CD = b. Theo h qu đnh lư Ta-lét

Ta có AE // CD ̃   (1)

Ta có : AB // CD

T đây suy ra:    (2)

T (1) và (2) suy ra .

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 15:  Cho tam giác ABC có  , AD là đường phân giác. Chứng minh rằng:  . 

Hướng dẫn giải

K DE // AB ta có:  ;  nên tam giác ADE đu.

Suy ra AD = AE = DE.

Áp dng h qu đnh lí Ta-lét:

 hay .

Mt khác  nên  .

Suy ra .

Nhn xét. Nhng bài toán chng minh đng thc có nghch đo đ dài đon thng, bn nên biến đi và chng minh h thc tương đương có t s ca hai đon thng.

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 16:  Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng 
          b) 

 

Hướng dẫn giải

 T́m cách gii. Đ to ra t s   chúng ta cn vn dng đnh lư Ta-let, mà h́nh v chưa có yếu t song  song do vy chúng ta cn k thêm yếu t song song. K song song vi MN t  t B và C va khai thác được yếu t trng tâm, va to ra được t s yêu cu.

Tŕnh bày li gii

Trường hp 1. Nếu MN // BC, th́ li gii gin đơn ( dành cho bn đc).

Trường hp 2. Xét MN không song song vi BC.

a) Gi giao đim ca AG và BC là D ̃ BD = CD.

K BI // CK // MN

Xét BDI vàCDK có ; ;

Nên BDI = CDK ( g.cg) .

Áp dng đnh lư Talet ta có :  ( v́ MG  // BI);

 ( v́ GN // CK) .

 Suy ra     (1) ( v́ AD = ).

b) Xét

Hay  

Suy ra  .

Nhn xét. T kết qu (1), chúng ta thy rng bi G là trng tâm nên  Vy nếu G không phi là trng tâm th́ ta có bài toán sau:

·                 Mt đường bt kỳ ct cnh AB, AC và đường trung tuyến AD ca tam giác ABC ln lượt ti M , N và G. Chng minh rng :

·                 Nếu thay yếu t trung tuyến bng h́nh b́nh hành, ta có bài toán sau: Cho h́nh b́nh hành ABCD. Mt đường thng bt kỳ ct AB. AD và AC ln lượt li M, N và G. Chng minh rng:

 

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 17: Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng  
(Olimpic Toán , Tây Ban Nha, năm 1995)

 Hướng dẫn giải

 

 T́m cách gii. V h́nh xong và quan sát, chúng ta nhn thy  t s   đă có câu b, ví d 4 và có kết qu  . Do vy khai thác yếu t này, kết hp vi bt đng thc đi s bài toán cho li gii đp.

Tŕnh bày li gii

Da vào ví d 4, ta có

Áp dng bt đng thc 

Ta có  Hay

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 18:  Cho ABCD là h́nh b́nh có tâm O. Gọi M, N là trung điểm BO; AO. Lấy F trên cạnh AB sao cho FM cắt  cạnh  BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng:
a)                  b) .

 Hướng dẫn giải

 T́m cách gii.

Vi phân tích và suy lun như câu a, ví d 4 th́ câu a, ví d này không quá khó.

Tương t câu a, chúng ta có kết qu:   và suy ra  đ liên kết được BE + AK vi nhau, mà vi suy lun trên th́ BE, AK cùng nm mu s , do đó chúng ta liên tưởng ti bt đng thc đi s s cho chúng ta yêu cu. Vi suy lun đó, chúng ta có li gii sau:                

Tŕnh bày li gii

K CI // AH // EF ( vi I; H  BD)

Xét ∆ AOH  và COI có:

  i đnh):

  OA = OB;

  (so le trong)

Nên: ∆AOH = ∆COI (c.g.c)

T đây suy ra: .

Áp dng đnh lí Ta -lét ta có:

       

b) Tương t ta có:

T đây suy ra: (1)

Áp dng bt đng thc  (vi x; y >0)

Ta có:  (2)

T (1) và (2) suy ra:

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 19:  Cho tam giác ABC nhọn  có AH là đường cao. Trên AH, AB, AC  lần lượt lấy điểm D, E, F sao cho  . Chứng minh rằng EF // BC.
(Thi học sinh giỏi Toán 9 , tỉnh Quảng Ngăi)

 

Hướng dẫn giải

 T́m cách gii. Đ chng minh EF // BC, suy lun mt cách t nhiên chúng ta cn vn dng đnh lư Ta-let đo. Do vy cn chng minh t l thc . nhn thy đ đnh hướng t l thc y cũng như khai thác được  chúng ta cn k   BO ^ CD; CM ^ DB , đ có các đường thng song song ri vn dng đnh lí Ta-let. T đó chúng ta có li gii sau:  

Tŕnh bày li gii

K BO ^ CD; CM ^ DB .

BO và CM ct nhau ti I

Nên:  D là trc tâm ca ∆BIC

Do đó:  DI ^ BC

V́ vậy:  I, D, A thng hàng DE // BI

Từ đây ta có tỉ lệ thức:

Mt khác: IC // FD suy ra

( Đnh lư Ta-let đo).

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 20:  Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BM là đường trung tuyến. Lấy điểm F trên cạnh BC sao cho FB = 2.FC. Chứng minh:  . 

Hướng dẫn giải

 T́m cách gii. Nhn thy  t  FB = 2.FC suy ra :  mang bóng dáng tính cht trng tâm tam giác. Do vy nếu gi G là trng tâm tam giác, AH là đường trung tuyến th́ d dàng nhn được GF // AC và do vy G là trc tâm tam giác ABF. Do đó ta có li gii sau:

Tŕnh bày li gii

Gi G là trng tâm tam giác ABC và AG kéo dài ct BC ti H AH là đường trung tuyến ca tam giác ABC.

Mt khác vuông cân ti A Nên

Ta có: (v́ G là trng tâm);        

           (gi thiết)

 

Từ đây ta có tỉ lệ thức:

Nên : (theo đnh lí Ta-let đo)

Do đó : nên G là trc tâm

V́ vậy:  hay nói cách khác.

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 21:  Cho tam giác ABC. Biết tồn tại điểm M, N lần lượt trên cạnh AB, BC sao cho  và   . Chứng minh tam giác ABC vuông.  

Hướng dẫn giải

 Cách 1. Gi P là trung đim ca AM, Q là giao đim ca AN vi CP

 

Ta có

Nên : nh lư Ta -lét đo).

T đây suy ra: 

Do đó: cân ti Q.

Mt khác .  Suy ra: 

Nên QA = QC = QN.

Do đó : CAN vuông ti C

V́ vậy : vuông ti C.

 

Cách 2. Dng D là đim đi xng ca N qua C

T đây suy ra: 

Ta có

Nên:

  Suy ra : MN // AD (đnh lư Ta- lét đo) .

Do đó: . Nên  là tam giác cân.

Do đó đường trung tuyến AC cũng là đường  cao .

Vy vuông ti C.

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 22:   Cho tam giác ABC có AD là đường trung tuyến. Gọi M là điểm tùy ư thuộc khoảng BD. Lấy E thuộc AB và F thuộc AC sao cho ME //AC; MF // AB. Gọi H là giao điểm MF và AD. Đường thẳng qua B song song với EH cắt MF tại K. Đường thẳng AK cắt BC tại I. Tính tỉ số  ?  

Hướng dẫn giải

 

Qua D k đường thng song song vi AB, ct tia AI ti P. Áp dng đnh lư Ta-let,cho các đon thng song song ta có:

Nên: (1).

 (2) .

Ta cũng có:   (3).

T (1) , (2)  và (3) suy ra: .  Vy

Rounded Rectangle: Bài tập mẫu 23:   Cho ∆ABC nhọn. H́nh chữ nhật MNPQ thay đổi thỏa măn M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC và P, Q thuộc cạnh BC. Gọi giao điểm của BN với CM là X của QN với PM là Y . Gọi H là giao điểm của XY với BC. Chứng minh rằng đường thẳng AH vuông góc với BC.

 

Hướng dẫn giải

 T́m cách gii. Bài toán có nhiu yếu t song song, do vy đ chng minh đường thng AH vuông góc vi BC, chúng ta nên chng minh AH song song vi NP hoc MQ. Vi đnh hướng y chúng ta t́m cách vn dng đnh lư Ta-let đo. Chng hn nếu chng minh AH song song vi NP, chúng ta cn chng minh . Bng cách vn dng đnh lư Ta-lét cùng h qu và biến đi khéo léo các dăy t s bng nhau, chúng ta s có li gii đp.

Tŕnh bày li gii

Gi Z là giao đim ca XY vi MN

V́ t giác MNPQ là h́nh ch nht

Mt khác: HP = ZM và MN // BC

Nên:

Dó đó AH // NP ( đnh lư Ta-Let đo)

Mà NP ^ BC nên AH ^ BC.

Bài tp mu 24:   Cho h́nh b́nh hành ABCD có I; E là trung đim ca BC; AD. Qua đim M tùy ư trên AB k đường thng MI ct đường thng AC ti K. Đường thng KE ct CD ti N.

Chng minh rng: AD = MN.

Hướng dẫn giải

Gi P là giao đim ca  MI và CD

Gi Q là giao đim ca KN và AB.

Nhn thy:  ∆IBM = ∆ICP(g.c.g)

Nên BM = CP.

Ta có theo đnh lư Ta-lét   AM // CP nên  (1)

Nhn thy EAQ  = ∆EDN  (g.c.g) nên DN = AQ.

Theo đnh lư Ta-lét, ta có: AQ // CN nên  (2)

T (1) và (2) suy ra  

Suy ra AM = DN.

Do đó ADNM là h́nh b́nh hành suy ra AD = MN.

 

 

 

 

Bài tp vn dng

Bài tp 1:  Cho h́nh b́nh hành ABCD có AC = 24 cm. Đim E thuc cnh AB sao cho  . Đim F là trung đim ca BC. Gi I, K th t là giao đim ca AC vi DE, DF. Tính các đ dài AI, IK, KC.

Bài tp 2: Cho tam giác ABC có BC là cnh ln nht. Trên cnh BC ly các đim D, E sao cho BD = BA; CE = CA. Đường thng qua D song song vi AB ct AC ti M. Đường thng qua E song song vi AC ct AB ti N. Chng minh AM = AN.

(Tuyn sinh lp 10 chuyên Toán., TP H Chí Minh, năm hc 2013 – 2014)

Bài tp 3: Cho tam giác ABC vuông ti A, đường cao AH. Gi I là trung đim ca AH. Đường vuông góc vi BC ti C ct đường thng BI ti D. Chng minh rng DA = DC.

Bài tp 4: Cho h́nh b́nh hành ABCD. Trên đường chéo AC ly mt đim I. Tia DI ct đường thng AB ti M, ct đường thng BC ti N. Chng minh rng:

a)                    b) .

Bài tp 5: Cho tam giác ABC vuông ti A. V v phía ngoài hai tam giác ABD và ACE vuông cân ti B và E. Gi H là giao đim ca AB và CD; K là giao đim ca AC và BE. Chng minh rng:

   a) AH = AK;                                b) .

Bài tp 6: Cho h́nh vuông ABCD, đim E thuc cnh BC. Gi F là giao đim ca AE và CD, G là giao đim ca DE và BF.

a) Gi I và K theo th t là giao đim ca AB và CG và DG. Chng minh rng IE song  song vi BD.

b) Chng minh rng AE vuông góc vi CG.

Bài tp 7: Cho tam giác ABC và D là mt đim tùy ư trên AC. Gi G là trng tâm ∆ABD. Gi E là giao đim ca CG và BD . Tính .

Bài tp 8: Cho h́nh b́nh hành ABCD, đim E thuc cnh AB, đim F thuc cnh BC. Gi I là giao đim ca CE và AD, gi K là giao đim ca AF và DC. Chng minh rng EF song song vi IK.

Bài tp 9: Cho tam giác ABC cân ti A. Trên cnh BC kéo dài v phía C ly đim M. Mt đường thng ∆ đi qua M ct các cnh CA, AB ln lượt ti N và P. Chng minh rng  không đi khi M và ∆ thay đi.

 (Thi hc sinh Toán 9, tnh An Giang, năm hc 2009 – 2010)

Bài tp 10:  Gi s O là giao đim ca hai đường chéo AC và BD ca t giác li ABCD. Gi E, F , H ln lượt là chân các đường vuông góc k t B, C và O đến AD. Chng minh rng:

AD.BE.CF ≤ AC.BD.OH. Đng thc xy ra khi nào?

Bài tp 11:  Cho tam giác ABC vuông ti A. Các t giác MNPQ và AXYZ là các h́nh vuông sao cho M AB; Q, PBC ; NAC;  X, Y, Z tương ng thuc AB, BC, AC. Chng minh MN < AX.

Bài tp 12: Gi M là đim bt ḱ trên đường trung tuyến trên đường trung  tuyến AD ca tam giác ABC. Gi P là giao đim ca BM và AC, gi Q là giao đim ca CM và AB. Chng minh PQ // BC.

Bài tp 13: Cho tam giác ABC có AB < BC, đường phân giác BE và đường trung tuyến BD (E; D thuc AC). Đường thng vuông góc vi BE qua C ct BE, BD ln lượt ti F, G. Chng minh rng đường thng DF chia đôi đon thng GE.

Bài tp 14: Cho tam giác ABC. Ly đim O nm trong tam giác, các tia BO và CO ct AC và AB ln lượt ti M và N. V h́nh b́nh hành BOCF. Qua N k đường thng song song vi BM ct AF ti E. Chng minh rng :

a) MONE là h́nh b́nh hành;        b)

Bài tp 15: Cho h́nh thang ABCD có đáy ln CD. Qua A k đường thng song song vi BC ct đường chéo BD ti M và ct CD ti I. Qua B k  đường thng song song vi AD ct cnh CD ti K. Qua K k đường thng song song vi BD ct BC ti P.

Chng minh rng:  MP // DC.

Bài tp 16: Cho tam giác ABC có CM là trung tuyến. Qua đim Q trên AB v đường thng d song song vi CM. Đường thng d ct AC,  BC ln lượt ti P, R. Chng minh rng nếu  QA.QB = QP.QR th́ tam giác ABC vuông ti C.

Bài tp 17: Cho tam giác ABC có trng tâm G. Mt đim P thuc cnh BC. Các đường thng qua P theo th t song song vi CG và BG ct AB, AC ln lượt ti E và F. Gi giao đim ca BG và CG  vi EF ln lượt là I, J. Chng minh rng:

a) EI = IJ = JF;                   b) PG đi qua trung đim ca EF.

Bài tp 18: Cho h́nh thang ABCD (AD < CD, AB // CD )có đường chéo AC bng cnh bên AD. Mt đường thng d đi qua trung đim E ca CD ct BD và BC ti M; N. Gi P; Q là giao đim ca AM; AN vi CD. Chng minh  .

Bài tp 19: Cho tam giác ABC . M  là điểm thuộc BC. Chứng minh răng:  MA.BC < MC.AB + MB. AC.

Bài tp 20: Cho tam giác nhn ABC có , các đường cao BD và CE ct nhau H. Đường vuông góc vi AB ti B ct AC I. Đường vuông góc vi AC ti C ct AB K. Gi F là giao đim ca BI và CK, G là giao đim ca FH và EI. Chng minh rng G là trng tâm ca tam giác AIK.

Bài tp 21: Đường thng d đi qua trng tâm G ca tam giác ABC ct cnh AB ti M, cnh AC ti N và tia CB ti P. Chng minh rng :  .

Bài tp 22: Cho tam giác ABC vi đim M thuc min trong tam giác .Gi I, J, K th t là giao đim ca các tia AM, BM, CM vi các cnh BC, CA, AB. Đường thng qua M và song song vi BC ct IK, IJ ti E; F .Chng minh: ME = MF.

Hướng dẫn giải

Bài tp 1: Ta có  

Do đó  

Ta li có  .

Do đó

Suy ra IK = 24 – 6 – 8 = 10 (cm).

Bài tp 2: T giả thiết : DM // AB

Ta có tỉ lệ thức

 

Mt khác: 

Do đó AM = AN.

Bài tp 3: Gi M là trung đim ca AC, N là giao đim ca MI và AB. Tam giác AHC có MI là đường trung b́nh nên MI // HC, tc là MN// BC.

Theo đnh lí Ta-lét: Do AH // CD  Nên  (1)

Do MN // BC

Nên  ,

Tc là  (2)

T (1) và (2) suy ra  ,

Do đó BN // DM ( đnh lí Ta-let đo).

Ta li có BN ^ AC nên DM ^ AC Vy DM là đường trung trc ca AC, suy ra DA = DC.

Bài tp 4:

 a) Áp dng h qu đnh lư Ta -lét vào tam giác BMN vi BM // CD.

Ta có:  (tính cht t l thc)

.

Áp dng đnh lư Ta - lét vào tam giác MAD vi BN // AD

Ta có:   (2).

 

T (1) và (2) suy ra

b) Áp dng h qu đnh lư Ta - lét vào tam giác ADI

vi AD // NC,  ta có:  (3)

Áp dng h qu đnh lư Ta -lét vào tam giác DIC vi DC // AM, ta có:  (4)

T (3) và (4) suy ra hay ID2 = IM.IN.

Bài tp 5: a) BD // AC (^ AB)  

Mà BD = AB  Nên  (1).

Mặt khác : AB // CE (^ AC)

 

Mà CE = AC nên  (2).

T (1) và (2) suy ra: AH = AK.

b) BD // AC  (3)

Dễ thấy : CE // AB  (3)

Mà AC = CE, BD = AB.

Kết hơp vi (3) và (4) ta có:  suy ra .

Bài tp  6: a) Ta s chng minh  .

Do BK // DF nên theo đnh lí Ta-lét ta có  

Suy ra  (1)

Cũng theo đnh lí Ta-lét vi AK // DF, ta có  (2)

Ta li có AB = CD nên t (1) và (2) suy ra  .

Theo đnh lí đoTa-lét ta có:  IE // BD.

b) Ta có BD ^ AC và IE // BD nên IE ^ AC.

Tam giác ACI có CB ^ AI, IE ^ AC nên E là trc tâm ca tam giác ACI. Suy ra AE ^ CG.

Lưu ư: Câu a) là câu gi ư đ gii câu b).

Bài tp 7: Gi F là giao đim BG vi AC th́ AF = FD. Ly M thuc CG sao cho DM // BG.

Ta có CA + CD = CF + FA + CF – FD

Hay CA + CD = 2. CF

T đây suy ra:  CA = 2.CF – CD

V́ G là trng tâm ∆ABD nên GB = 2.GF.

  MD // BG (1)

Mà GF //MD nên  do vy: t (1) suy ra: 

Bài tp 8:

Gi O là giao đim ca AF và CE.

Theo đnh lư Ta-let:

AE // CK

DI // CF ̃ .

Ta có :  .

Ta có tỉ lệ thức: ̃ EF // IK (theo đnh lư Ta-lét đo).

Bài tp 9:K NH // AB ( Vi H thuộc BC)

Suy ra (1)

Mt khác NH // AB ̃ .

Vy không đi khi M và ∆ thay đi.

Bài tp 10: K AT ^ BD (T  BD), th́  AT ≤ AO

Nên AD.BE = BD.AT ( = 2.SABD)

Suy ra AD.BE ≤ BD.AO

Nên AD.BE ≤ (1).

Mt khác OH // CF

Do đó :  

T (1) và (2) suy ra

Đng thc xy ra khi T trùng vi O hay AC vuông góc vi BD.

Bài tp 11:  

Đt x; y là cnh  h́nh vuông MNPQ; AXYZ; và a, b, c là đ dài BC, AC, AB. K AH ^ BC; đt AH = h. T đó suy ra a.h = b.c (=2.SABC) và

Ta có :                  

 

Theo đnh lư Ta – let,  ta có:

            

             (2)

T (1) và (2) suy ra x < y hay MN < AX.

 

Bài tp 12: Qua A k đường thng song song vi BC, ln lượt ct BP và CQ kéo dài ti E và F.

Áp dng h qu đnh lư Ta- let ta có:  

Mà CD = BD nên AF= AE.

Áp dng h qu đnh lư Ta- let ta có:

Suy ra ̃ PQ // BC ( đnh lí đo Ta-let).

Bài tp 13: Gi giao đim ca CG và AB là K và giao đim ca DF và BC là M . Ta có ∆BCK cân ( v́ có BF va là đường phân giác, va là đường cao) ̃ F là trung đim ca CK .

Trong ∆ACK có FK = FC, AD = CD

Suy ra DF là đường trung b́nh

Do đó:  FD // AK.

Trong ∆BCK có FK = FC, FM // BK suy ra M là trung đim ca BC.

Xét tam giác DBC có trung tuyến DM, theo bài toán 13.12. th́ GE // BC suy ra  mà BM = MC do đó OE = OF hay DF chia đôi đon thng GE.

Bài tp 14: a) Gi G là giao đim ca NE và AC, H là giao đim CF và AB.   Theo đnh lư Ta- Let ta có:

NE // CH̃

Suy ra

Nên MONE là h́nh b́nh hành.

b) Ta có BM // HC và NE // HF, theo đnh lư Ta- lét ta có:

             (1)

Ta có OM // NG; OB // CH. Theo đnh lư Ta – lét, ta có :

             // HC

Mà NG// HC

(2)

T (1) và (2) suy ra điu phi chng minh.

Bài tp 15:T giác ABKD có AB//DK; BK//AD nên ABKD là h́nh b́nh hành, suy ra DK = AB (1).

T giác ABCI có AB //CI. AI // BC nên ABCI là h́nh b́nh hành suy ra CI = AB (2).

T (1) và (2) ta có DK = CI .

Áp dng đnh lư Ta- lét vào ABM vi AB // DI ta có

Áp dng đnh lư Ta lét vào CBD vi KP // BD ta có  hay

Mà DI = KC do đó MP // CD (đnh lư Ta -lét đo).

Bài tp 16: Trong tam giác BQR có nên (h qu đnh lí Ta-let)  (do QA.QB = QP.QR ).

Mt khác, trong tam giác ACM có PQ//CM nên .

 

Nên : 

(v́ MA = MB) .

Vy vuông ti C.

Bài tp  17: a) Gi BM và CN là các đường trung tuyến ca tam giác ABC. Gi giao đim ca BG và EP là H, ca CG và FP là T.

T HI // PF, EP // CN, theo đnh lư Ta-let

Ta có:  suy ra  

 

Tương t ta có: . Do đó .

b)T PE // CN, theo đnh lư Ta-let, ta có :  .

T PF // BM, theo đnh lư Ta-let, ta có :  ,

Do đó TH // EF ( đnh lư Ta -let đo).

Gi O, K là giao đim ca PG vi HT và EF. Ta có PHGT là h́nh b́nh hành  . T đây suy ra:  OH = OT.

 Theo h qu đnh lư Ta- lét ta có:  .T đó suy ra KE = KF, điu phi chng minh.

Bài tp 18: Gi I là giao đim ca đường thng d và AB.

Áp dng đnh lư Ta-let, ta có:

 

Do đó DP = QC, theo gi thiết AC = AD

T đây suy ra: ∆ADC cân ti A

 suy ra  

Bài tp 19: K MN // AB ( h́nh v) . Ta có:

 

Mà AM < MN + NA ( bt đng thc tam giác),  hay

Vy AM . BC < MC. AB + MB . AC.

Bài tp 20: Tam giác vuông ACK có  nên là tam giác vuông cân, CE là đường cao nên AE = EK, IE là đường trung tuyến ca ∆AIK.

Ta s chng minh IG = 2GE ( bng cách chng minh FI = 2EH) . Ta có:  (v́ ∆CIF vuông cân), CF = BH ( v́ BFCH là h́nh b́nh hành) .

 (v́ ∆BEH vuông cân) nên FI = 2EH. Do EH // FI nên theo đnh lí Ta-let ta có  suy ra IG = 2GE. Vy G là trng tâm ca ∆AIK.

Bài tp 21: Qua A và C k đường thng song song vi đường thng d, ct đường thng BG ln lượt ti A’ và C’.

Áp dng kiến thức trên , ta có:

 ;  (1).

V́ MN ct tia CB ti P nên tương t cách chng minh ví d 4, ta có: ;  (2).

T (1) và (2) suy ra:

   ( điu ph