Chương 4. HNH LĂNG TR ĐNG- HNH CHP ĐU

Ch đ 1: HNH HP CH NHT

A. Tm tt l thuyết

1) Hnh hp ch nht

        Hnh hp ch nht c 6 mt, 8 đnh v 12 cnh.

        Hai mt ca hnh hp ch nht khng c cnh chung gi l hai mt đi din v c th xem chng l hai đy ca hnh hp ch nht, khi đ cc mt cn li được xem l cc mt bn.

        Hnh lp phương l hnh hp ch nht c 6 mt l hnh vung.

Hnh hp ch nht: ABCD.ABCD

2) Mt phng v đường thng

        Cho hnh hp ch nht ABCD.ABCD. Ta c th xem:

-         Cc đnh:A, B, C, D, A,... như l cc đim.

-         Cc cnh AD, DC, CC, như l cc đon thng.

-         Mi mt, chng hn mt ABCD, l mt phn ca mt phng (ta hnh dung mt phng tri rng v mi pha).

        Đường thng qua hai đim A, B ca mt phng (ABCD) th nm trn trong mt phng đ (tc l mi đim ca n đu thuc mt phng).

3) Hai đường thng song song trong khng gian

        Trong khng gian hai đường thng a v b gi l song song vi nhau nếu chng nm trong cng mt mt phng v khng c đim chung.

        Vi hai đường thng phn bit trong khng gian, chng c th:

- Ct nhau

- Song song

- Khng cng nm trong mt mt phng no

        Hai đường thng phn bit, cng song song vi mt đường thng th ba th song song vi nhau.

4) Đường thng song song vi mt phng. Hai mt phng song song

        Khi AB khng nm trong mt phng (ABCD) m AB song song vi mt đường thng ca mt phng ny, chng hn AB//AB, th ta ni AB song song vi mt phng (ABCD) v k hiu l AB//mp(ABCD).

        Xt hai mt phng (ABCD) v (ABCD). Mt phng (ABCD) cha hai đường thng ct nhau AB, AD v mt phng (ABCD) cha hai đường thng ct nhau AB, AD, hơn na AB song song vi AB v AD song song vi AD, khi đ ta ni mt phng (ABCD) song song vi mt phng (ABCD) v k hiu mp(ABCD)//mp(ABCD)

5) Đường thng vung gc vi mt phng. Hai mt phng vung gc

        Khi đường thng AA vung gc vi hai đường thng căt nhau AD v AB ca mt phng (ABCD) ta ni AA vung gc vi mt phng (ABCD) ti A v k hiu l

        Nhn xt: Nếu mt đường thng vung gc vi mt mt phng ti đim A th n vung gc vi mi đường thng đi qua A v nm trong mt phng đ.

        Khi mt trong hai mt phng cha mt đường thng vung gc vi mt phng cn li th ta ni hai mt phng đ vung gc vi nhau.

6) Din tch xung quanh - Th tch ca hnh hp ch nht

        Din tch xung quanh ca hnh hp ch nht bng tng din tch cc mt bn.

Ta c cng thc (p l na chu vi đy, h l chiu cao).

        Din tch ton phn ca hnh hnh hp ch bng tng din tch xung quanh v din tch hai đy

        Nếu cc kch thước ca hnh hp ch nht l a, b, c (cng đơn v đ di) th th tch ca hnh hp ch nht đ l V=abc.

        Th tch hnh lp phương cnh a l V = .

B. Phương pháp gii ton

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 1: Cho hnh lập phương ABCD.EFGH
a) Hy kể tn cc cạnh song song với mặt phẳng (EFGH)
b) Kể tn cc mặt phẳng song song với nhau

Hướng d̃n giải

a) * BC// FG m FG nm trong mt phng (EFGH)

Vy BC//mp (EFGH)

* CD//GH m GH nm trong mt phng (EFGH).

Vy GH//mp(EFGH)

* DA//HE m HE nm trong mt phng (EFGH).

Vy DA//mp(EFGH)

b) * mp(BCGF) // mp(ADHE) v BF, BC ct nhau nm trong mp(BCGF); AE, AD ct nhau nm trong mp(ADHE) v BF//AE, BC//AD

* mp(ABCD) // mp(EFGH) v AB, BC ct nhau nm trong mp(ABCD); EF, FG ct nhau nm trong mp(EFGH) v AB//EF, BC//FG

* mp(ABFE) // mp(DCGH) v AB, AE ct nhau nm trong mp(EBFE); DC, DH ct nhau nm trong mp(DCGH) v AB//DC, AE//DH

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 2. Cho hnh hộp chữ nhật ABCD.MNPQ
a) Đường thẳng AD vung gc với những mặt phẳng no?
b) Hai mặt phẳng (AMQD) v (DQPC) c vung gc với nhau khng?

Hướng d̃n giải

a)* AD vung gc vi hai đường thng ct nhau AM v AB ca mt phng (AMNB) nn

* AD vung gc vi hai đường thng ct nhau DC v DQ ca mt phng (QDPC) nn

b) v v AD nm trong mt phng (AMQD)

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 3: Tnh cc kch thước của hnh hộp chữ nhật, biết rằng chng tỉ lệ với 3, 4, 5 v thể tch của hnh hộp ny l

Hướng d̃n giải

Gi cc kch thước ca hnh hp l a, b, c

Theo gi thiết ta c v V= abc =

Theo tnh cht dy t s bng nhau ta c

Vy cc kch thước ca hnh hp l a = 6cm, b = 8cm, c = 10cm.

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 4: Diện tch ton phần của một hnh lập phương l  . Thể tch của n l bao nhiu?

Hướng d̃n giải

Hnh lp phương c 6 mt l cc hnh vung bng nhau. Vy din tch mt mt hnh vung l 486:6 = 81. Mt cnh hnh lp phương di bng a=9cm. Th tch hnh lp phương l

V = 9.9.9 = 729

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 5 :   Cho hnh hộp chữ nhật ABCD.ABCD.
a)	Những cạch  no song song với DD?
b)	Những cạch  no song song với BC?
c)	Những cạch  no song song với CD?
d)	Những mặt no song song với mp(BCCB)

Hướng d̃n giải

a) Cc cch song song vi DD l AA; BB; CC.

b)Cc cch song song vi BC l BC; AD; AD.

c) Cc cch song song vi CD l AB; CD; AB.

d) mp(BCCB) // mp(ADDA)

v mp(BCCB) cha hai đường thng BC v BB ct nhau, m BC//AD v BB//AA

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 6 :  Một căn phng di 5m, rộng 3,2m v cao 3m. Người ta muốn qut vi trần nh v bốn bức tường. Biết rằng tổng diện tch cc cửa l 6,3 . Hy tnh diện tch cần qut vi?

Hướng d̃n giải

Din tch trn nh

Din tch mt mt cc bc tường ca căn phng

Din tch cn qut vi căn phng (đ tr din tch cc ca) l

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 7 :  Cho hnh hộp chữ nhật ABCD.ABCD. Tm đường thẳng chung (giao tuyến) của hai mặt phẳng
a) mp(ABCD) v mp(ADDA)
b) Gọi M, N lần lượt l trung điểm của AB, AD. Chứng minh MN song song với cc mặt phẳng (BBDD) v (ABCD).

Hướng d̃n giải

a) Giao tuyến ca hai mp(ABCD) v mp(ADDA) l AD.

b) Ta c MN l đường trung bnh ca tam gic ABD nn MN//DB, m . Suy ra MN// mp(BBDD)

* Ta c MN// mp(BBDD) (cmt)

Suy ra MN//BD m

Nn MN // mp(ABCD)

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 8 : Hy kể tn những cạnh bằng cạnh BD của hnh hộp chữ nhật ABCD.ABCD

Hướng d̃n giải

Nhng cnh bng cnh BD l AC; BD; AC.

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 9 :  Cho hnh hộp chữ nhật ABCD.ABCD c AB = 3cm, AD = 4cm; AA= 5cm. Tnh AC

Hướng d̃n giải

Ta c AB = AB=3cm; AA=BB = 5cm

AD=BC = 4cm

p dng đnh l py - ta go vo tam gic vung ABC ta c

p dng đnh l py - ta go vo tam gic vung AAC ta c

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 10 :  Cho hnh hộp chữ nhật ABCD.ABCD.
a) Hai đường thẳng AC v BD c cắt nhau khng?
b) Đường thẳng BD c cắt cc đường thẳng AA, AC, CC hay khng
c) Tm một điểm cch đều cc đỉnh của hnh hộp chữ nhật

Hướng d̃n giải

a) Đường thng AC v BD ct nhau v đ l hai đường cho ca hnh hp ch nht.

b) Ta c AA vung gc vi mp(ABCD) m nn hay BD ct AA

* Ta c mp(ABCD)//mp(ABCD)

M v . Nn BD khng ct AC.

* Ta c CC vung gc vi mp(ABCD) m nn hay BD ct CC

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 11 : Tm độ di cạnh của hnh lập phương ABCD.ABCD . biết BD= cm

Hướng d̃n giải

Gi đ di cnh hnh lp phương l a cm

Ta c cm

M BD=cm nn ta c a = 1 cm

Vy cnh hnh lp phương l 1cm

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 12 :  Cho hnh hộp chữ nhật ABCD.ABCD. Chứng minh rằng nếu BAC l tam gic đều th ABCD.ABCD l hnh lập phương

Hướng d̃n giải

Gi cnh tam gic đu BAC l d

Chiu di, chiu rng, chiu cao hnh hp ln lượt l a, b, c

Trong tam gic vung ADC ta c (1)

Trong tam gic vung AAB ta c (2)

Trong tam gic vung CBB ta c (3)

Ly (2)-(3) vế theo vế ta được

(*)

Ly (1)-(2) vế theo vế ta được

(**)

T (*) v (**) suy ra a = b = c

Hay ABCD.ABCD l hnh lp phương

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 13 :  Tnh cc kch thước của hnh hộp chữ nhật biết rằng chng tỉ lệ với 2, 3, 4 v thể tch của hnh hộp bằng 1536

Hướng d̃n giải

Gi 3 kch thước ca hnh hp ch nht ln lượt l a, b, c

Ta c v V= abc = 1536

Suy ra

Vy ; ;

Vy 3 kch thước ca hnh hp ln lượt l 8; 12; 16.

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 14 :  Một bể đựng nước c dạng hnh hộp chữ nhật (xem hnh vẽ). Mực nước hiện tại bằng  chiều cao của bnh. Nếu ta đậy bnh lại ri dựng đứng ln (lấy mặt (AABB) lm đy) th chiều cao của mực nước l bao nhiu?

Hướng d̃n giải

Th tch hnh hp ch nht l

Th tch nước cha trong hnh hp l

Nếu chn (AABB) lm đy. Gi h l chiu cao mc nước mi, ta c th tch

Vy chiu cao mc nước mi l 8cm

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 15 :  Cho hnh lập phương ABCD.ABCD. Chứng minh rằng
a) BC vung gc với mp(DDCC)  b) AC vung gc với mp(BDDB)
c) BD vung gc với mp(AACC)   d) BC vung gc CD

Hướng d̃n giải

a) Ta c BC DC; BCCC m DC v CC l hai đường thng ct nhau nm trong mp(DDCC). Vy nn

b) Ta c

mt khc DD vung gc vi hai đường thng ct nhau AD v DC nm trong

mp(ABCD) nn DDmp(ABCD)

m

Suy ra AC vung gc vi mp(BDDB)

c) Tương t như cu b

d) nn BC vung gc vi mi đường thng nm trong mp(DDCC) hay BCDC

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 16 :  Cho hnh lập phương ABCD.ABCD.
a) Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng no?
b) Đường thẳng AC c song song với mặt phẳng (ABC) khng?

Hướng d̃n giải

a) AB//mp(ABCD) v AB//AB v

AB// mp(DCCD) v AB//DC v

b) AC//mp(ABC) v AC//AC v

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 17 :  Cho hnh hộp chữ nhật 	ABCD.ABCD c AB = a, AD = b, AA = c. Chứng minh DB = BD =AC=AC = 

Hướng d̃n giải

Trong tam gic vung ABC ta c

Trong tam gic vung AAC ta c

 

Tương t ta c DB =

BD =

AC=

Vy DB=BD =AC=AC=

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 18 :  Một hnh hộp chữ nhật c thể tch bằng 60  v diện tch ton phần bằng 94  . Tnh chiều rộng, chiều di của hnh hộp chữ nhật biết chiều cao bằng 4cm.

Hướng d̃n giải

Gi hai kch ca hnh hp ln lượt l a, b

Ta c (1)

Hay a + b = 8 (2)

T (1) v (2) suy ra a = 5; b = 3 hoc a = 3; b = 5

Vy hai kch thước ca hnh hp ch nht l 3cm v 5 cm.

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 19 :  Một bể đựng nước c dạng hnh hộp chữ nhật (xem hnh vẽ). Mực nước hiện tại bằng  chiều cao của bnh. Nếu ta đậy bnh lại ri dựng đứng ln (lấy mặt (ADDA) lm đy) th chiều cao của mực nước l bao nhiu?

Hướng d̃n giải

Th tch hnh hp ch nht l

Th tch nước cha trong hnh hp l

Nếu chn (ADDA) lm đy . Gi h l chiu cao mc nước mi, ta c th tch

Vy chiu cao mc nước mi l 5,3cm

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 20 :  Một bnh đựng nước c dạng hnh hộp chữ nhật c chiều rộng bằng 4cm, chiều di bằng 8cm, chiều cao bằng 5cm. Mực nước hiện tại bằng  chiều cao của bnh. Nếu ta đổ nước trong bnh vo một bnh khc hnh lập phương c cạnh bằng 5cm th chiều cao mực nước l bao nhiu?

Hướng d̃n giải

Th tch nước c trong hnh hp l

Gi h l chiu cao ca mc nước mi bnh hnh lp phương c cnh l 5cm, ta c .

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 21 :  Cho hnh hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Gọi M v N lần lượt l trung điểm của CD v C'D'. 
Chứng minh rằng MN // mp(BCC'B').

Hướng d̃n giải

* Tm cch gii

Mun chng minh MN // mp(BCC'B') ta phi chng minh MN song song vi mt đường thng ca mt phng (BCC'B').

* Trnh by li gii

Description: 19

Xt t gic MCC'N' c

Vy t gic MCC'N l hnh bnh hnh, Suy ra MN // CC'.

Đường thng MN khng nm trong mt phng (BCC'B') cn đường thng CC' nm trong mt phng (BCC'B') m MN // CC' nn MN // mp(BCC'B').

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 22 :  Cho hnh hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Trn cc cạnh AA', DD', BB', CC' lần lượt lấy cc điểm E, F, G, H sao cho     
Chứng minh rằng mp(ADHG) // mp(EFC'B').

Hướng d̃n giải

* Tm cch gii

Đ chng minh mp(ADHG) // mp(EFC'B') ta tm cch chng minh hai đường thng ct nhau ca mp(ADHG) tương ng song song vi hai đường thng ct nhau ca mp(EFC'B').

*Trnh by li gii

Description: 19

T gic BCHG c BG = CH; BG // CH

Nn l hnh bnh hnh, suy ra HG // BC.

Mt khc BC//B'C'

Nn HG // B'C'.

T gic DHC'F c DF // HC' v DF = HC'

Nn l hnh bnh hnh, suy ra DH = FC'.

 

Xt mp(ADHG) c HG v DH ct nhau ti H.

Xt mp(EFC'B') c B'C' v FC' ct nhau ti C'.

T đ suy ra mp(ADHG) // mp(EFC'B').

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 23 :  Cho hnh hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.
a)	Chứng minh rằng tứ gic ADC'B' l hnh chữ nhật.
b)	Tnh diện tch của hnh chữ nhật ADC'B' biết: AB = 12, AC' = 29, DD' = 16.

Hướng d̃n giải

a. T gic ADD'A' l hnh ch nht, suy ra AD // A'D' v AD = A'D'.

Description: 19

T gic A'B'C'D' l hnh ch nht, suy ra B'C' // A'D' v B'C' = A'D'.

Hnh 18.7

 
Do đ AD // B'C' v AD = B'C'.

Vy t gic ADC'B' l hnh bnh hnh.

Ta c AD ^ DD' v AD ^ DC

Nn AD ^ mp(DCC'D').

Suy ra AD ^ DC'.

Do đ hnh bnh hnh ADC'B' l hnh ch nht.

b. Xt DDD'C' vung ti D' c

Xt DADC' vung ti D c

Vy din tch hnh ch nht ADC'B' l: S = DC'.AD = 20.21 = 420 (đvdt).

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 24 :  Cho hnh hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.
a)	Chứng minh rằng mp(DCC'D') ^ mp(CBB'C').
b)	Trong số su mặt của hnh hộp chữ nhật, c bao nhiu cặp mặt phẳng vung gc với nhau?

Hướng d̃n giải

* Tm cch gii

Mun chng minh mp(DCC'D') vung gc vi mp(CBB'C') ta cn chng minh mt đường thng ca mp(DCC'D') vung gc vi hai đường thng giao nhau ca mp(CBB'C').

* Trnh by li gii

a. V DD'C'C l hnh ch nht nn D'C' ^ CC'.

Description: 19

V A'B'C'D' l hnh ch nht nn D'C' ^ B'C'.

Vy D'C' vung gc vi hai đường giao nhau ca mp(CBB'C') do đ D'C' ^ mp(CBB'C').

Mt khc, D'C' mp(DCC'D')

Nn mp(DCC'D') ^ mp(CBB'C').

 

 

b. Chng minh tương t như cu a), ta được cc cp mt c chung mt cnh th vung gc vi nhau. Hnh hp ch nht c 12 cnh nn c 12 cp mt vung gc vi nhau.

Rounded Rectangle: Bi tập mẫu 25 :  Cho hnh hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Diện tch cc mặt ABCD, BCC'B' v DCC'D' lần lượt l 108cm2, 72cm2 v 96cm2.
a)	Tnh thể tch của hnh hộp.
b)	Tnh độ di đường cho của hnh hộp.

Hướng d̃n giải

* Tm cch gii:

Hnh 18.9

 
Din tch cc mt đ cho l tch ca hai kch thước. Th tch ca hnh hp l tch ca ba kch thước. V vy ta cn s dng cc tch ca tng cp hai kch thước đ đưa v tch ca ba kch thước.

* Trnh by li gii

a. Gi đ di cc cnh AB, BC, CC' ln lượt l a, b, c.

Description: 19

Ta c :

Suy ra ab.bc.ca = 108.72.96

Hay (abc)2 = 746496.

Do đ

Vy th tch ca hnh hp l:

V = 864(cm3). (4)

b. T (4) v (1) ta c

T (4) v (2) ta c

T (4) v (3) ta c

Vy đường cho ca hnh hp ch nht c đ di l:

C. Bi tp luyn tp

Bi tp 1: Cho hnh hp ch nht ABCD.A'B'C'D'.

a)     Chng minh rng mp(ACD') // mp(A'C'B).

b)    Chng minh rng mp(CDB') v mp(BCD') ct nhau. Tm giao tuyến ca chng.

Bi tp 2: Hnh hp ch nht ABCD.A'B'C'D' c đy ABCD l hnh vung. Chng minh rng mp(DBB'D') vung gc vi mp(ACC'A').

Bi tp 3: Cho hnh hp ch nht ABCD.A'B'C'D'.

a)     Tm giao tuyến m ca hai mt phng (ACC'A') v (DBB'D').

b)    Chng minh giao tuyến m ^ mp(A'B'C'D').

c)     Chng minh mp(BDD'B') ^ mp(A'B'C'D').

Bi tp 4: Người ta ghp 480 hnh lp phương nh cnh 1cm thnh mt hnh hp ch nht kch thước 8125cm ri sơn tt c su mt ca hnh hp ch nht ny. Hi:

a. C bao nhiu hnh lp phương nh cnh 1cm khng được sơn mt no?

b. C bao nhiu hnh lp phương nh cnh 1cm c t nht mt mt được sơn?

Bi tp 5: Mt hnh lp phương cnh n đơn v (n N; n 2), c 6 mt đu được sơn mu xanh. Người ta chia hnh lp phương ny thnh n3 hnh lp phương cnh 1 (đơn v). Cho biết s hnh lp phương nh cnh 1 (đơn v) khng được sơn mt no l 27. Tnh:

a)     Gi tr ca n;

b)    S hnh lp phương nh được sơn ba mt;

c)     S hnh lp phương nh được sơn hai mt;

d)    S hnh lp phương nh được sơn đng mt mt.

Bi tp 6: Mt chiếc hp hnh lp phương cnh 6cm được đt trn mt bn. Tnh qung đường ngn nht m con kiến phi b trn mt hp t trung đim M ca C'D' đến đnh A.

Bi tp 7: Cho hnh hp ch nht ABCD.A'B'C'D'.

a. Hi c bao nhiu đon thng m hai đu ca n l hai đnh ca hnh hp ch nht?

b. Chng t rng trong cc đon thng ni trn, ch c ti đa 7 gi tr khc nhau v đ di.

Bi tp 8: Người ta ghi vo su mt ca mt hnh lp phương cc s t nhin t 1 đến 6. Sau đ c mi lượt, ta cng thm cng mt s t nhin vo hai mt ca hnh lp phương đ. Hi sau mt s lượt, c th xy ra su s bng nhau su mt ca hnh lp phương được khng?

Bi tp 9: Mt hnh hp ch nht c cc kch thước bng 8, 9, 12. Tnh đ di ln nht ca mt đon thng c th đt trong hnh hp ch nht đ.

Bi tp 10: Mt hnh hp ch nht c tng ba kch thước bng 61cm v đường cho bng 37cm. Tnh din tch ton phn ca hnh hp ch nht đ.

Bi tp 11: Đường cho ca mt hnh lp phương di hơn đường cho mi mt ca n l 1cm. Tnh din tch ton phn v th tch ca hnh lp phương đ.

 

 

 

D. Gii bi tp luyn tp

Bi tp 1: (h.18.10)

a)     Xt hnh bnh hnh ACC'A' c AC // A'C'

T đy suy ra: AC // mp(BA'C').

Xt hnh bnh hnh ABC'D' c AD' // BC'

Do đ: AD' // mp(BA'C').

V AC v AD' ct nhau ti A

Nn mp(ACD') // mp(BA'C').

b)    Mt phng (CDB') cũng l mt phng (CDA'B').

Mt phng (BCD') cũng l mt phng (BCD'A').

Hai mt phng ny c hai đim chung l C v A' nn chng ct nhau theo giao tuyến CA'.

 

Bi tp 2: T gic ADD'A' l hnh ch nht nn DD' ^ D'A'.

T gic DCC'D' l hnh ch nht nn DD' ^ D'C'.

Suy ra DD' ^ mp(A'B'C'D'). Do đ DD' ^ D'B'.

T gic DBB'D' c DD' // BB' v DD' = BB' nn l hnh bnh hnh. Hnh bnh hnh ny c DD' ^ D'B' nn l hnh ch nht.

Gi O l giao đim ca AC v BD. Gi O' l giao đim ca A'C' v B'D'.

Hnh 18.12

 
Ta c OO' l đường trung bnh ca hnh ch nht DBB'D' nn OO' ^ DB.

Ta li c AC ^ BD (tnh cht đường cho hnh vung) suy ra BD ^ mp(ACC'A').

Mt phng (DBB'D') cha BD nn mp(DBB'D') ^ mp(ACC'A').

Bi tp 3: a. Gi O l giao đim ca AC v BD. Gi O' l giao đim ca A'C' v B'D'.

Ta c O AC m AC mp(ACC'A') nn O mp(ACC'A').

O BD m BD mp(BDD'B') nn O mp(BDD'B').

Vy O l đim chung ca hai mt phng (ACC'A') v (BDD'B').

Chng minh tương t, O' l đim chung ca hai mt phng (ACC'A') v (BDD'B').

Hai mt phng (ACC'A') v (BDD'B') c hai đim chung l O v O' nn chng ct nhau theo giao tuyến m l đường thng OO'.

b. Trong mt cho (DBB'D') c OO' l đường trung bnh nn OO' ^ B'D' (ti O'). Chng minh tương t ta được OO' ^ A'C' (ti O').

Đường thng OO' vung gc vi hai đường thng giao nhau ca mp(A'B'C'D') nn OO' ^ mp(A'B'C'D').

c. Ta c OO' ^ mp(A'B'C'D') m OO' mp(BDD'B') nn

mp(BDD'B') ^ mp(A'B'C'D').

Bi tp 4: a) Cc hnh lp phương nh khng được sơn mt no l cc hnh lp phương bn trong. Chng to thnh mt hnh hp ch nht c đ di cc cnh l:

Th tch ca hnh hp ch nht đ l: 6 . 10 . 3 = 180(cm3).

Vy c tt c 180 hnh lp phương nh khng được sơn mt no.

b) C tt c 480 hnh lp phương nh, trong đ c 180 hnh khng được sơn mt no. Vy s hnh lp phương nh c t nht mt mt được sơn l:

480 180 = 300 (hnh).

Bi tp 5: a. Cc hnh lp phương đơn v khng được sơn mt no bn trong hnh lp phương đ cho, chng to thnh mt hnh lp phương c cnh di ơn v).

Do đ cnh ca hnh lp phương đ cho di l:

n = 3 + 2 = 5 (đơn v di).

b. mi đnh c mt hnh lp phương đơn v được sơn ba mt. C tt c 8 đnh nn c 8 hnh lp phương đơn v được sơn ba mt.

b. mi cnh c ba hnh lp phương đơn v được sơn hai mt. C tt c 12 cnh nn c 3 . 12 = 36 hnh lp phương đơn v được sơn hai mt.

c. mi mt c 9 hnh lp phương đơn v được sơn mt mt. C tt c 6 mt nn c 9 . 6 = 54 hnh lp phương đơn v được sơn mt mt.

Bi tp 6: Khai trin hnh lp phương ri tri phng ba mt (ABCD), (CDD'C') v (ADD'A') ta được hnh bn.

Xt trường hp kiến b qua cnh DD' đ ti đnh A:

Đon đường ngn nht m kiến phi b t M đến A l:

 

      Xt trường hp kiến b qua cnh DC đ ti đnh A:

Đon đường ngn nht m kiến phi b t M đến A l:

      Xt trường hp kiến b qua cnh CC' đ ti đnh A:

D thy đon đường m kiến phi b t M đến A di hơn nhiu so vi hai trường hp trn.

Kết lun: Vy đon đường ngn nht m kiến phi b l 10,8cm.

Bi tp 7: a. Hnh hp ch nht c 8 đnh. S đon thng m hai đu ca n l hai đnh ca hnh hp ch nht l: (đon thng).

 

 

 

Hnh 18.15

 
b. 28 đon thng ny chia lm 7 nhm, mi nhm 4 đon thng di bng nhau (chng hn AB = CD = C'D' = A'B').

T đ suy ra trong 28 đon thng ny ch c ti đa 7 gi tr khc nhau v đ di.

 

Bi tp 8: Lc đu tng 6 s 6 mt l 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Đ l mt s l.

Sau mi lượt, tng ny tăng thm mt s chn nn tng cc s 6 mt lun l mt s l, khng chia hết cho 6. Do đ khng th xy ra c 6 s bng nhau.

Bi tp 9: p dng cng thc tnh đ di đường cho ca hnh hp ch nht:

d2 = a2 + b2 + c2 = 82 + 92 + 122 = 289.

Suy ra

Vy đ di ln nht ca mt đon thng c th đt trong hnh hp ch nht l 17.

Bi tp 10: Gi ba kch thước ca hnh hp ch nht l a, b, c. Ta c:

T (1) suy ra (a + b + c)2 = 612 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 3721.

Do đ 2(ab + bc + ca) = 3721 1369 = 2352 (cm2).

Vy din tch ton phn ca hnh hp ch nht l 2352cm2.

Bi tp 11: Gi a l đ di mi cnh ca hnh lp phương v d l đ di đường cho ca hnh lp phương đ. Ta c d2 = 3a2 (cm).

Đ di đường cho mi mt ca hnh lp phương đ l

Ta c (cm).

Din tch ton phn ca hnh lp phương l: (cm2).

Th tch ca hnh lp phương l: (cm3).